『オイラーの贈物』
表記方法は滅茶苦茶です。
いずれ清書するかもしれません。こういう計算方法は
よいこは真似しないで下さい。
『オイラーの贈物』吉田武著
ご無沙汰しております、前回の最後が2019初夏辺りだと思います。その後は、『虚数の情緒』編の調和振動子のエネルギー保存らしきことから、
回折格子辺りの量子力学で要りそうな箇所を書こうかと、
頁の余裕を作っておきましたがしかし、昨年の確か梅雨明けは早かったけど、その後の天候不良に見舞われ、
勉強やる気にもなれんことになりまして、サボり癖が付き、遂には丸一年数学をさぼり倒しました。
おかげで全てを忘却の彼方へと追いやることになってしまいました。（半分嘘ですけど、あながち嘘とも言えんことです）
もうこれではいかんという思いが来たのは残念ながら今年（２０２０）の8月ということで、
「まあこのクソ暑い時期に少しでも勉強癖つけなあかん」という断固たる決意をしたつもりに成りまして、勉強再開です。
ちなみに画像左上は昨年の最後の勉強記録です。
では、長い前置きからの『オイラーの贈物』の長い感想文を始めます。
『オイラーの贈物』は、結構なロングセラーの私はあんまりよく分かってなくていけませんで、なかなかの人気なようです。
がしかし、その人気とは裏腹に場合によっては難解な書物と化します。
というわけで、買ったはいいけど手に負えんいうことで、（最近になって新装版で東海大学出版より新たに出版されました）
某巨大中古書店で2冊ほど綺麗なのが棚に鎮座しておりました。（やはり有名らしく、ネット出品中で特別に立ち読み禁止カバーが）
ネット上で書評を見てみますと、明らかに悪意のある感じのは無視しまして、多くは、
「高校数学に問題が無かった場合は、読みやすく、（特に大学入学前の予習には実に）いい」具合の内容な感じです。
一方で数学バリバリの理論立ての抽象的な表現に加えてまるきり隙のない、数学畑を乗り越えてきた方々には、
どうにも数学書としての評価は、一定ラインは評価は出ますが、手放しで高評価を得るというわけではないようです。
（※オイラーの公式を導いたあとで、それとは別に微分方程式での方法で公式の証明をなされています。
すごく単純な導出方法ですけど、これはつまるところ大体テイラー展開にいたるくらいの数学に揉まれてへろへろになったくらいの時期でないと、
その単純な方法が理解できませんので「なんや、テイラー展開なんていらんかったんや」ということにはまずなりません。)
まあ私は、高校数学に難があったほうに入りますので、一部難解な感は拭えません。
※行列からのなんやらかんやらと附録はカウントしてません、とりあえずオイラーの公式に辿るまでの話です。
高校数学を勉強しなおしで「ああやっぱりやりたくねえ」という中で、一番手が順列、組み合わせ、場合の数からの確率、統計でして、
こいつはほんとに嫌だなあ思いつつで避けて通り、かつ、数列が嫌とは言わんけどどうにも絵に描けないので覚えられずで、
ネックなままでした。それで嫌だなあ思ってたらうまいこと『虚数の情緒』に出会いまして難を逃れたというか、逃げておりました。
※その後『虚数の情緒』はシュレーティンガー方程式編後は一気に読み進めました。
これはもう物理編はどう考えても独学者が独学でやるにあたり、（初学者にとって）物理の壁にぶち当たるであろう難解の難問は、きっちり数式込みで説明はするが、
ほかは何とか分かるくらいの説明に留めているとしか読めませんで、
（ちゅっても数学編の勢いで物理編もやってたら吉田博士がもたん気がする、もし仮に本ができても2000ｐでもたぶん足りん）
「ああ、とにかくこの本にこれ以上頼るわけにもいかん、きっちり力学と、ある程度の（どの程度か分からんけど）電磁気学要るなあ、そっから量子力学だよなあ」
ということに相成り、それ以前に数学もうひと越えふた越えみ越えでも足りんよなあということを改めて思いなすことにもなりました。
というわけで、数学を、当初の目標のテイラー展開までまずやろう、
それならテイラー展開まで辿り着くには∑要る、二項展開で組み合わせ要る、ということでやらないかんことになりました。
そこで『オイラーの贈物』です。
のっけから二項展開の組み合わせに加えての数列∑の合わせ技炸裂です。そのときの昨年の格闘が冒頭左上画像です。
まあわからんので、とにかくワカラン時は具体的にしないと進めないということで、簡単な数字を充てて打破する方策です。
※こういうのは意地になるよりもあっさり自らの無力さを割り切った方がいいです。ちなみに慣れるために
『ふたたびの高校数学』のお世話になりつつです。
まあなにが言いたいかと問われますとなんとも言いようがないですけど、ワカラン場合は、わかるように、
ワカランのはそれが抽象的だからわからんのであってそこは、ワカラン自分のバ（ピー）さ加減を認めて楽になり、然る後に
分かりやすい２か３あたりぶち込むと案外すっきりするもんだということです。
右上画像は、2020再開時に「おお忘れた、ああまたワカランクなった」と唸りつつ、昨年のものを読み返していたら、なんとか少しずつ、
何をやっていたか思い出して、途中で「はっ」となって終了の図です。
比にすることで、不等式を上手いこと持ち出して、極限に持ち込むという流れは、
当書において展開式の収束にも使われますので避けるわけにもいきません。
残念ながら私の考えるこのくだりの説明が正しいかは分かりませんので、
解説しかねます。
ただまあ、感じとしては絶対値が1より小さくて次の項が減少で、前の項も減少で、（絶対値の中の話です）両者最後は
限りなくゼロに近いけど前の項のほうがすごおおく限りなくゼロに近いけど大きい、
それ続けたらどんどん押しやられ
両者もう殆どゼロかと見まがうくらいのすごおおおおおく限りなくゼロに近いと思っておけばいいんじゃないでしょうか。
※それでも不等号は有効で、これが無効になるとそれはそれで困ることになります。
実際のところこの判別方法の別の人のやり方はいたる本で見られますが、
左記の方法は手持ちの本では、見つかりませんでした。
※ちゅっても目の前の箱は何のためにあるんだ？ということで検索かけてみますと、
ダランベールの判定法でいくらでも出てくるもんではあります。
それで、本屋行きましたら
何とか具合のいいことにちくま学芸文庫『微分積分学』にほぼ同様の方式が見つかったからよかったものの、
それがなければ裏が取れずに弱り果てるところでした。
さてここまで来てとりあえず何がいいたいかといいますと、
少なくとも私にとっては簡単な本ではなく、
所によってはえらく難解きわまるということです。
※判定法の紹介と解は見つかりますが、結構検索上位でも自明の理として、
１よりでかいか小さいかイコールで答えだせばそれでいいという。
※ダランベールの判別法は、手持ちの本でなかっただけかも分かりませんが、
高専の教科書らしきものでもありませんでした。
しかしながら、複素関数での展開式の判別法ですと方法に違いが出てきますが、
ダランベールがよく出てくるという。
ひとーつ、カト○家家訓、
「テイラー展開が分からないとかいう奴は、
（ｘ＋Δx）で、直接二項展開してしまえ」
ということです。
それなりに唸りを上げる日々はあったわけですけど、なんとか通り過ぎたという感じでした。
（といっても微積の一部や関数の連続性とイプシロン、デルタ論法はもう少し他の本で、もまれななりません。）
その他、対数関数も、これまでうやむやにさせてまして、これはこれで、『オイラーの贈物』では逆関数の微分法でとかで、良いんですけど、
正統的な教科書に出るのはわからないかんいうことで、このあたり微積分の本をあたりました。
テイラー展開は昨年中断前にウンウン唸りまして、こういう困った時は永野裕之先生でして、
著書『はじめての物理数学』にテイラー展開の展開方法が細かく書かれてまして、手順は大変分かりやすく説明されていました。
問題はこちら側にありまして「やり方はわかったけれど、どうにも胸のつかえがとれん、すっきりせん」
ということになり、「どないせいかしらん？」と困った日々が。
結局のところいつものやり方しかないと思いなし、
「いっそのこと、簡単な数字入れてみりゃええ」ということに気づきました。
まず、（1＋０．１）の２乗やります。すると１+０．２+０．０１＝１．２１が出ます。次に（１＋０．２）の２乗、１＋０．４+０．０４＝１．４４
これで1次近似とりますと、それぞれ１.2、1.4でまあまあいい感じに近似が取れます。このいい感じは1.3の2乗でギリ切り捨てならいいとこまで来ます。
これをさらに１．０１～やっていきますとさらに良い感じの近似の範囲が拡がります。
表記方法は滅茶苦茶です。
いずれ清書するかもしれません。こういう計算方法は
よいこは真似しないで下さい。
ということでやってみましたのが左上画像。
個人的には「おおお、やっと悩まんくても本にある展開がすらすら出てくる」のがようやく見つかりました。
※これはエックス周りのエックスゼロのテイラー展開に当たりますけど、そうはいっても自分が分かる為に具体的に簡単な乗数で二項展開しただけのもので、
なんの証明の担保にもなりません。
多くの教科書で採用するエックスの関数でｘ。周りの（ｘ－ｘ。）、或いはa周りの、（ｘーa）でのテイラー展開とは違いますので注意が当たり前のように要ります。
といっても直接二項展開する場合は（a＋Δｘ）のn乗になります。
（ところでa周りのテイラー展開方法で例えば1.02を近似したい時はエックス＝1.02を考えて、
（ｘ－ａ）の部分を（ｘ－１）、すなわちa=1で入力の展開というクソめんどくさいことになります。
がしかし、そこらへんはおそらく「せっかくここまでクソ大変な思いをしてついでに更に追い討ちをかけるようなことはいくら教科書でもやらん」
という気がしまして、（１+ｘ）のｎ乗での近似式なり展開方法を紹介しています。明らかに楽になりますので。）
（x＋Δｘ）の正式な展開方法は、教科書によく出てくるオーソドックスなものとは違うながらも散見はします。
例えば（東京図書）『基幹講座 物理学 力学』に登場します。
また、『オイラーの贈物』で見られる方法も、というか多くみられるのかもわかりません、見ることがあります。
手持ちの本では広江克彦著『ＥＭＡＮの量子力学』（理工図書）です。
で、テイラー展開をしましたら、画像で出た3乗４乗なんかは終わりが来ますけど、いつ果てるか分からないものは、
どこかでケツもちしないと、収まりが悪いことになります。
剰余項の登場です。
『オイラーの贈物』を購入した理由で大きいのは、この剰余項に多くの頁を割いていることでした。
さらに、これが良かったことで微分形式からはじめることで完全に助かりました。
（実は未だに積分からやる方法の一部どうしてこうなるの？というのが解決していません）
といっても、簡便に思える方法でも、簡便にするためにどこか分かり辛いところがあるという、
しわ寄せが出てきます。
吉田博士が本書で剰余項を出すために「ここからさらに絞り出そう」云々なことがあります。
実際、
「なんでここで（ｘ－ｔ）が出るんだ？」と頭を抱えました。そうはいっても「絞り出す」んですからよく見て見ますと、ｄｔが替わりに消えている。
そこから類推するに、これより微分始めるために、ｄｔがすり替わって（ｘ－ｔ）だということです。
※ｔ+ｄｔ=ｘで、ｘ-ｔ=ｄｔということです。視覚的には一次近似出すときによく出るグラフの接線の傾きの微小変化量？のヤツです。
この方式の助かるところは、展開式の項を出すために積分が出てくるわけですが、微分演算子の「微分せよ」の指令で、
まだ微分してない状態で済んでいるので、 演算子消えてまんま積分出来る利点があります。
（それなりの手順は要りますけど、部分積分とかの頭を悩ませることはない、といっても『オイラーの贈物』ではしょっぱなを積の微分でやってまして
ややこしい話になりますけど、ひっくり返す時に部分積分やってるという話です）
おかげで右上画像の、これより先の２階微分で出る項、３階微分で出る項も頭を抱えることが無くなります。
画像では展開式も、剰余項も中途段階のものですけど、紹介できるものはこれくらいです。
あとは『オイラーの贈物』関係で個人的に引っかかって止まった箇所を別頁で紹介するかもわかりません。
『オイラーの贈物』をネット上で調べていた時に、あまり好意的ではなく「代入しただけでは証明にならない」というようなものを見かけたことがありました。
（どこでみたかは定かではないです）
個人的には、『虚数の情緒』で近似式ながら複素数も三角関数、指数関数に適応されることは計算で自明となったと捉えてまして、
当初はあまり気にも留めてはいませんでした。
しかしながら今回『オイラーの贈物』を読むにあたり、この「代入しただけでは」のくだりが気になってはきました。
この問題は、当書を読み進めればその問いには答えがあります。
読むに従いまして、指数関数の肩を整数から段階的に拡張して行き実数まで拡張した後に、
思わせぶりに「複素数への拡張は次章のお楽しみ」という感じで引っ張ります。
※要は、ただ、代入しただけでは済まされないように、きっちりと段階を踏んで隙のない状態を作っているということです。
※そうはいっても、足りないところはそれはそれで包み隠さず、オイラーの公式、eのiπ乗イコール-１の導出は、
※厳密な証明、には複素関数の知識が必要になるという内容が付記されています。
他書においても「こまけえこたあいいんだよ」的な空気を醸し出しつつ、
複素関数必要の下りはフォローするのを散見します。
いやまあ気づいたらｅとπがくっついたという言葉を失うような感動をとるか、
それでもなおというのは気にするべきかというなんとも言いようがないことです。
ちなみに複素関数の冪級数展開はものすごくくそめんどくさいというかいまのところそこまで頭が追いついておりません。