個人的にクライマックス迎えました
表記方法は滅茶苦茶です。
いずれ清書するかもしれません。こういう計算方法は
よいこは真似しないで下さい。
『虚数の情緒』吉田武著
前回の続きです。二次近似式まで出ました。その後テイラー展開の解説に行くのかと思いきや、著者曰く、この先もあるのだがいたずらに複雑化させるのは本意ではない、という内容とのことで二次近似式までで終了です。
う〜む、この先どのようにオイラーの公式に持ち込むのか？見通しが分からなくなってしまいました。
さて、次なる課題は指数関数の虚数乗はどのような数になるのか、それを更に電卓で追ってみようという。
何書いてるかワカランだろうと思いますけど、ネタバレやりすぎになるとか、自分で計算して書いてるっちゅってもこんなのまるパクリじゃねえかというわけには行きませんので、ご勘弁下さい。
本著でのここの流れが難しいと思われる方にとっては参考になるかもしれません。
上画像は著作内では触れておりませんが、ガウス平面上でラジアンでグルグル回りますので2乗和で1になりますという話です。視覚的にはこう理解します。
コサインシータの直角三角形底辺がx軸上で伸びたり縮んだりするのですがサインシータは虚数ですので本来見えないのですけど何とか視覚化しようと虚数軸作りましたいうやつです。
しかし、吉田博士はそこは説明せずにというわけで、それではどうするかちゅうことで複素共役うまく使いまして、数字の説明からの絶対値1を利用して、
近似式つかって攻めますという流れです。にしてもeの虚数乗、近似式が上手い具合にガウス平面に乗っかりますなあ。
※右上画像は自分は計算間違いしたか？と思っても間違えてなくて計算機の端数切捨てが、著作内では四捨五入でしたの確認作業です。
※したがって１−計算機で出た数字0.9999952317は四捨五入して末尾6に置き換えて、後に計算してあります。
※P577には誤植らしく、3にルートがついていない箇所があります。
肝心な場面でしたので新たに12桁用意しました。
それでようやく出てきたのがeのi乗というものです。
う〜むここでなぜにi乗というのを出すのか、しかもそうキリの良い数字でもない。
しかしここで一息つかせずに更にたたみかけて計算機計算続行させられます。
残念ながらこの辺りで思考が停止してまして、
何をしてるか分からず、ひたすら計算機の打ち込み間違いが無いかの確認に追われておりました。
ここでガウス平面上を周っていることは全く気づかなくなってしまいました。
次なる作業は画像下のeのix乗して虚数ｉを導こうというもの。
いやほんとに失念していた、ここでもまだサインコサインとガウス平面の間柄忘れているという。
2乗和で1になるとかいろいろ気づく要素満載なのですけど、全く気づいてない。
加えて、これまでに知ったオイラーの公式はサインコサインとeのｉ乗との関係は
テイラー展開でまず証明していくということで、それしか頭になかったです。
とりあえず分かったのは前の作業のデータが使えるということです。
これをもとにｅのix乗＝iなる数字を求めるためｘを解くわけわけです。
ほんとうに言葉を失った。
なんかいきなりπでた。
いやもう近似計算でもこれだけ近ければπでいいでしょう。
なんちゅうかもう布滝沢布滝以来に感極まった。
あん時は感嘆の言葉、発していたんですけど、それとはちがう
なにも言うこと無く静かなもんでしたけど。
なんかもうこれまでのeのわけ分からなさが吹っ飛んだ。
吉田展開にすっかり乗せられて良いもの見させてもらいました。
理屈じゃわかっていてもどうにもしっくり来なかったこの等式。
まさかこういった方法で出てくるとも思わなんだ。
あまりにも泥臭く、近似ながらも直球勝負とも思える直接的計算。
そこから出てくる虚数の隠れた数字と実数の組み合わせ、
どう考えても人為的に人間の都合の良いように作り出された感のあるネイピア数、
しかしそれがπと密接に繋がり関係するという。
なんとも信じられないようなでも納得いったし、疑いようも無い。
正直言って『オイラーの贈物』では私にはまだ難しすぎて、
『虚数の情緒』が無かったらほんとにうやむや感がとれず霧も晴れなかったことでしょう。
正直（まあたぶん頭の疲れたおっさんだからでしょう）ようやく大きな旅が1つ終わった気分でした。
気がつけば何も分からなかった高校数学初めて半年弱。
この後虚数の情緒ではオイラーの公式へと続くわけですけど、
これまでと比べると（あくまで個人の感想では）大分と楽になって行きます。
オイラーの等式に辿る辺りで山場を迎えるのだなと思います。
